cinta_HW8

十二月 22, 2023 1203

第十二章

  1. 如果环 R 带乘法单位元 1，对任意 a \in R ，请证明 −a = (−1)a 。

证明： 根据分配律

a(1+(-1))=a0\\a+(-1)a=a0\\(-1)a=-a+a0 同样根据分配律MATHJAX-SSR-13 故MATHJAX-SSR-14 >2. 如果任取环 R 中的元素 x 都满足 x^2 = x ，请证明环 R 是交换环。

证明: 任取a,b属于R中的元素

要证MATHJAX-SSR-15 即证MATHJAX-SSR-16 因为 MATHJAX-SSR-17 故可得R为交换环 >3. 请解释为什么 Z_n 在加法上的子群都是 Z_n 的子环。

对于任意 Z_n 在加法上的子群 Z_n^{'}

  1. Z_n^{'}\neq \emptyset ,否则 Z_n^{'} 不为子群
  2. 任取 a,b\in Z_n{'} ， ab=a+a+a+\dots+a(b个a相加) 满足封闭性,故 ab\in Z_n{'}
  3. 对于任取非0的 a,b\in Z_n{'} ，有 -b\in Z_n{'} ,由封闭性得 a-b\in Z_n{'} >14. 证明环 2Z 不与环 3Z 同构。

证明：假设环2Z与环3Z同构

则必有 \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b) 和 \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)

带入a=b=2

易得 \phi(ab)\neq\phi(a)\phi(b)