cinta_HW7

十二月 21, 2023 928

第十一章

  1. 证明命题11.4。

证明： 1. 对于MATHJAX-SSR-60 若MATHJAX-SSR-61 有解，则必有MATHJAX-SSR-62 故MATHJAX-SSR-63

  • 若MATHJAX-SSR-64 和MATHJAX-SSR-65 均有解，则MATHJAX-SSR-66 有解MATHJAX-SSR-67 成立

  • 若MATHJAX-SSR-68 和MATHJAX-SSR-69 均无解，则由命题11.3中QNR*QNR=QR有MATHJAX-SSR-70 有解MATHJAX-SSR-71 成立

  • 使用欧拉准则MATHJAX-SSR-72 MATHJAX-SSR-73

  1. 显然MATHJAX-SSR-74 则MATHJAX-SSR-75
  1. 给出推论11.1的完整证明。

证明： 由欧拉准则MATHJAX-SSR-76 MATHJAX-SSR-77

  1. 设 p 是奇素数，请证明 Z^*_p 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余

证明： 对于任意生成元a,若a为模p的二次剩余，则有 x\in Z^*_p且x^2\equiv a\pmod p 有解

令 a^m\equiv x\pmod p ,则 a^{2m}\equiv a\pmod p , a^{2m-1}\equiv 1\pmod p

因为x有两解，故存在两个不同的m，m小于p-1，使得 a^{2m-1}\equiv 1\pmod p

不符合生成元的定义，故假设错误，a为模p的二次非剩余。