cinta第五次作业

十一月 30, 2023 1044

第九章

  1. 定义映射 MATHJAX-SSR-93为：MATHJAX-SSR-94请证明 ϕ 是一种群同态当且仅当 G 是阿贝尔群。

证明： MATHJAX-SSR-95 由消去律有MATHJAX-SSR-96,得证G为阿贝尔群。 MATHJAX-SSR-97 MATHJAX-SSR-98

6.设 MATHJAX-SSR-99是一种群同态。

请证明：如果 G 是循环群，则 ϕ(G)也是循环群；如 果 G 是交换群，则 ϕ(G) 也是交换群。

证明:

  1. 假设G为循环群

    \forall a \in G,有a^i=e成立 MATHJAX-SSR-101 故有 MATHJAX-SSR-102 MATHJAX-SSR-103

  2. 假设G为交换群 MATHJAX-SSR-104 MATHJAX-SSR-105 故有 MATHJAX-SSR-106 则 MATHJAX-SSR-107

  1. 证明：如果 H 是群 G 上指标为 2 的子群，则 H 是 G 的正规子群。

即MATHJAX-SSR-108 MATHJAX-SSR-109 1. 假设g在H中 MATHJAX-SSR-110 由封闭性易得 MATHJAX-SSR-111 则MATHJAX-SSR-112

  1. 假设g不在H中，则g必然在G-H中，由H是群G上指标为2的子群，故： MATHJAX-SSR-113 则MATHJAX-SSR-114

综上，H 是 G 的正规子群 >8. 给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是阿贝尔群，则商群 G/H也是阿贝尔群。

证明：

已知H为G的正规子群，设G/H的阶为n。 MATHJAX-SSR-115 MATHJAX-SSR-116 H为G的正规子群，则商群G/H中任取aH，bH MATHJAX-SSR-117 由封闭性有 MATHJAX-SSR-118

故则商群 G/H也是阿贝尔群。

  1. 给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是循环群，则商群 G/H也是循环群。

证明: 已知G为循环群，则 MATHJAX-SSR-119 MATHJAX-SSR-120

由封闭性有 MATHJAX-SSR-121 故商群 G/H也是循环群